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两人轮流从一堆棋子中移除规定数量，无法行动的人结束并判负时，单看剩余棋子总数未必足以判断局面。每堆允许的后续状态，才决定组合后的选择。

先明确输入与规则

本例每次只能选择一堆，并移除集合中某个不超过该堆余量的数量。先给单堆大小零赋状态值零，其他大小的状态值取所有可达状态值中未出现的最小非负整数。两堆组合用两个状态值按位异或，零表示当前方在双方最佳选择下没有必胜走法。

本例的独立记录

每次可移除数量[1, 5, 6]，单堆最多十八。堆编号零、一；结束判定是轮到自己时无合法动作则负。

单堆大小 | 状态值 0 | 0 1 | 1 2 | 0 3 | 1 4 | 0 5 | 1 6 | 2 7 | 3 8 | 2 9 | 3 10 | 2 11 | 0 12 | 1 13 | 0 14 | 1 15 | 0 16 | 1 17 | 2 18 | 3 双堆数量 | 异或结果 | 归零走法，依次为堆号、取数、操作后数量 [6, 5] | 3 | [[0, 1, [5, 5]], [0, 5, [1, 5]]] [15, 18] | 3 | [[0, 6, [9, 18]], [1, 5, [15, 13]]] [8, 4] | 2 | [[0, 6, [2, 4]]] [10, 3] | 3 | [[0, 5, [5, 3]]] [8, 14] | 3 | [[0, 5, [3, 14]], [1, 6, [8, 8]]] [2, 14] | 1 | [[0, 1, [1, 14]], [1, 1, [2, 13]]]

记录中的编号只用来区分本例对象，不应与大小排名或另一组记录的身份混淆。先核对单位和边界，再跟随中间值检查结果。空结果、零值与尚未确定是不同状态；分数保留精确含义，显示小数只为方便阅读。

怎样复算

表格列出单堆状态值和每个双堆局面的全部归零走法。归零是指操作后两个状态值异或为零，并不是把棋子全部取光。非零局面应至少有一条归零走法，零局面则不应存在这种走法。

可以对较小的双堆局面逐层枚举胜负，核对状态值方法的结果。走法列表只说明当前规则下的战略性质，不包含现实奖励或任何金钱行为。实际练习还要检查所取数量是否合法，不能为了让异或归零执行规则之外的移除。

适用条件与限制

这是无随机、无隐藏信息、有限步、双方可做动作相同的抽象谜题。若规则改成最后取走者输，或不同玩家可取数量不同，不能继续直接采用这里的递推和组合判定。

练习时可以一次只改变一个条件，比较差异从哪个步骤开始。若自己的结果不同，先核对是否采用同样的规则，再定位第一个不一致的中间状态，不要只修改最终答案。输入与运算过程需要一起保存，才能判断结论究竟适用于哪一个具体场景。